historia de los numeros: ecuaciones lineales

Historia de los Numeros

No podemos decir que conocemos la forma por la que empezamos a utilizar los números. Había muchos motivos y situaciones cotidianas por las que nos impulsaran a cuantificar el mundo que nos rodeaba. Era necesario encontrar un método de conteo, los motivos podían ser variados, desde conocer el número de animales que tenían, a sus armas, o para saber los terrenos que disponían.
Al principio los hombres empiezan a contar puesto que es necesario saber lo que se tiene y lo que se puede cambiar. Los hombres empie-zan a contar y usaran las piedras, los dedos, muescas en bastones, nu-dos en una cuerda etc. Calcular significa contar con piedras, “calculus” es piedra en latín. Pero poco a poco según la cantidad es mayor, se hace necesario un método más práctico.

Casi siempre se llegaba a la misma solución al alcanzar un determi-nado número se hace una marca diferente que representa a todos. Este número es la base. Y la base que más se ha venido utilizando por las distintas culturas fue la base 10, es muy probable que sea por ser igual al número de los dedos con los que contamos.
Desde hace miles de años la gran mayoría de culturas ha contado con unidades, decenas, centenas, etc., vamos igual que lo hacemos hoy en día, sin embargo lo que ha sido muy distinto es la forma de representar los números.

Han existido muchas formas de representar los números por los pueblos, incluso estos números ha ido modificándose, bien por influencias de otros pueblos o bien por el paso de los años, no olvidemos que muchas culturas duraron cientos y miles de años. Merece la pena recordar como veían los números distintos pueblos.

Los egipcios usaban los números antes del 3.000 A.C. Su interés por los números tenía que ver mu-cho con el Nilo y con sus inundaciones. Estos números fueron necesarios en sus ciudades y por sus comerciantes, para sus negocios. Usaban los números en base diez usando jeroglíficos. Daba igual usar un número las veces que hiciera falta, e igualmente podían escribirlos de izquierda a derecha o de arriba abajo. Al dar igual el orden muchas veces los escribían en un orden por puramente estéti-ca.
En Egipto cuando llegaban las inundaciones modificaban el tamaño de los campos de labor, el faraón enviaban a hacer las mediciones de los campos para distribuir los terrenos entre los campesinos. La cuerda que usaban para medir no era exacta para el medir el tamaño de los campos. Hallaron la solución inventando el número que resultaba de la fracción de dos números naturales. Habían descubierto las fracciones.

Los mayas utilizaban un sistema de numeración de base 20 y de base 5. Al igual que los egipcios las representaciones de números se hacían por medio de jeroglíficos. Para los mayas los números eran importantes para medir el tiempo, por eso los números mayas tienen relación con los días, meses y años. Solo necesitan tres símbolos para representar los números, estos son el punto que tiene valor uno, la raya que tiene valor cinco y el caracol con valor cero.

Los griegos, bueno lo primero que hay que recordar es que los griegos no eran una nación unida y única, sino que estaban orgullosos de ser un conjunto de estados con sus diferencias con los demás, lo que daba a diferencias en los sistemas numéricos.

Podemos distinguir entre dos sistemas que tuvieron el primero acrofónico, que quiere decir que los símbolos de los números vienen de la primera letra del nombre del número.
Posteriormente el sistema Jónico o Ale-jandrino empleaba las letras minúsculas del alfabeto. Los números parecían letras y las letras poseían un valor numérico.

Los hindúes contaban con los dedos de la mano, contaban del 0 al 9, y al igual que nosotros nuestro sistema es el decimal. Los mayas que también usaban el cero en sus cuentas, contaban con los de-dos de la mano y de los pies, sus primeros números van del 0 al 19 por eso su sistema es vigesimal.
Cada pueblo tenía sus particularidades con los números, aunque todos apreciaron su necesidad, y muchos fueron aportando mejoras que hoy utilizamos.
Antiguamente cuando realizaban operaciones matemáticas y daba un resultado negativo, decían que era un resultado absurdo y que eran soluciones imposibles. Sin embargo los chinos, en realidad los comerciantes, usaban para llevar las cuentas de sus negocios, dos colores. Los número de las deudas en color rojo y los que no lo eran en color negro.

Desde la India llegó el número cero, que para los hindúes significa vacio. Y es que hay que recor-dar que los romanos no usaban el cero. A la hora de sumar no tenían problemas porque usaban el ábaco y cuando necesitaban que las unidades, decenas o centenas fueran cero ellos simple-mente dejaban esa línea vacía.

Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas
El sistema actual que usamos fue inventado por los hindúes, de ahí lo aprendieron los árabes que fueron los que lo introdujeron en Europa, posiblemente desde Italia. Este sistema nos permite que con solo diez símbolos pueda representarse cualquier número por muy grande que éste sea, y hace mucho más fácil realizar operaciones con ellos.
Los números son el alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas

Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante $\mathbb{N}$ , son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante $\mathbb{Z}$ (del alemán Zählen 'números'). Los números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.

Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad, como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionarios pueden ser expresados siempre como cocientes de enteros. El conjunto de todos los números fraccionarios es el conjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racionales positivos, como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como $\mathbb{Q}$ .

Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos, pero desde los antiguos griegos se conoce que ciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) son números no enteros que tampoco son racionales. Igualmente, la solución numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales, usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse como una sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos los números racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) es el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía ser expresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertos problemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales se introdujeron los números complejos $\mathbb{C}$ , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a los números reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánica cuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los números complejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicaciones los números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueron considerados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos de números $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemas planteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantes conexiones con la realidad física.

Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existen otros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta y responden más a creaciones deliberadas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto de número se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertos problemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles para representar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos como octoniones y los sedeniones.

A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.

miércoles, 29 de mayo de 2013

ecuaciones lineales

Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

c) ecuaciones literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización

Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x² + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x² - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x² + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x²]

Fórmula cuadrática [editar]

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática³ a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática: